VedecGiselle Monteiro
Názov projektuKurzweilov a Dobrakovov prístup k integrácii
Hostiteľská organizáciaMatematický ústav SAV
Dĺžka projektu01.04.2016 - 31.03.2017

Abstrakt
Pokiaľ sa jedná o zovšeobecnenie Lebesgueovho integrálu, môžeme rozlíšiť dva rôzne prístupy: integrály Rieamannova typu a silné integrály. V rámci tohto projektu sa budeme zaoberať oboma prístupmi. Konkrétne sa zameriame na abstraktné Kurzweilovy-Stieltjesovy a Dobrakovove integrály. Čo sa týka Kurzweilova-Stieltjesova integrálu -- integrálu ktorého definícia je založená na súčtoch Riemannova typu a na pojme kalibru -- plánujeme preskúmať niektoré jeho zvláštne vlastnosti (napr. obmedzenosť a konvergenciu) a tiež rozšírenie jeho použiteľnosti na integráciu na všeobecných množinách. Ďalej je medzi hlavnými cieľmi aj porovnávacia analýza Dobrakovovej a Kurzweilovej teórie integrácie.

Zhrnutie projektu s priebežnými výsledkami

Hlavným cieľom tohto projektu bolo popísať vzťah medzi dvoma typmi integrálov:

Prvý je integrál I. Dobrakova (pracovníka Matematického ústavu SAV), a ďalší definovaný J. Kurzweilom (z Českej akadémie vied). Obidva pojmy zovšeobecnejú zmámu koncepciu Lebesgueovej integrácie, ale zatiaľ čo prvý je príkladom silného integrálu, druhý je neabsolútny integrál na báze jednoduchej modifikácie Riemannovho integrálu. Aby sme preskúmali vzťah medzi Dobrakovovým a Kurzweilovým prístupom ku integrácii, čiastkové ciele sa skladali z dvoch fáz. Prvá fáza korešpondovala pokračovaniu výskumu Kurzweilhovho-Stieltjesovho integrálu ako analytického nástroja pre ďalšiu fázu projektu. Druhá fáza zahŕňala štúdium Dobrakovho integrálu a komperatívnu analýzu Dobrakovovej a Kurzweilovej teórie integrácie.

Metodológia využitá v tomto projekte bola štandartná metodológia, ktorá sa používa v matematickom výskume: bibliografický výskum, semináre a konštruktívne matematické myslenie. Okrem toho stála spolupráca s Matematickým ústavom SAV, s pobočkou v Košiciach a konzultácie s pracovníkmi Českej Akadémie vied hrali významnú úlohu počas trvania projektu. Celkovo bolo prednesených 18 prednášok na seminároch a konferenciách na Slovensku a v zahraničí, ktoré zabezpečili disemináciu a prezentovanie výsledkov získaných v rámci tohto projektu.

Pri výskume Kurzweil-Stieltjes integráli sme skúmali či integrál kopíruje niektoré z vlastností, ktoré sú známe pre Riemann-Stieltjesov integrál vzhľadom na niektoré triedy funkcií. Intergrabilita potom bola požitá na charakterizovanie funkcií s konečnou variácou a regulovaných funkcií. Výsledky sú obsiahnuté v práci, ktorá je prijatá na publikovanie. Ďalšie výskumné otázky týkajúce sa Kurzweilovej integrácie, ktoré sa riešili počas tohto obdobia znamenajú zdokonalenie výsledkov monografie, na ktorrej sa pracovalo od r. 2014. Dokončenie a publikovanie spoločnej práce sa očakáva v najbližších mesiacoch v r. 2017.

Pre realizáciu navrhovanej porovnávacej analýzy Dobrakovovej a Kurzweilovej teórie bol zavedený nový pojem m-integrálu. Tento nový integrál je definovaný s ohľadom na mieru, ale jeho limitný proces je založený na gauge funkciách. Preto zahŕňa dôležité charakteristiky oboch Dobrakovovej a Kurzweilovej teórie integrácie. Kým vzťah s abstraktným Kurzweilovým integrálom je jednoduchý, identifikácia medzi m-integrálom a Dobrakovovým integrálom je predmetom určitých podmienok. Štúdium vlastností m-integrálu a jeho aplikácie v spojení s Dobrakovým a Kurzweilovým integrálom boli zahrnuté do práce, ktorá bude publikovaná. 

Nakoniec, okrem stanovených cieľov, sa uskutočnila nová výskumná spolupráca pri  vedeckých návštevách počas trvania projektu. Pri aplikovaní Kurzweilovej integrácie na rovníce sa pripravujú dve práce v spolupráci so zahraničnými inštitúciami. Jednou je Univerzita Santiago de Compostela v Španielsku a druhou je  Adam Mickiewicz University v Poľsku.